Distribución binomial negativa
La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que se usa para modelar el número de éxitos o fracasos en un número determinado de ensayos. Esta distribución se utiliza a menudo para calcular la probabilidad de repetidas ocurrencias de un evento. Se diferencia de la distribución binomial normal en que la distribución binomial negativa no requiere un número fijo de pruebas.
Características
La distribución binomial negativa se caracteriza por lo siguiente:
- Tiene dos parámetros: el número esperado de éxitos $mu$ y el parámetro de forma $alpha$.
- La media de la distribución es $mu$, mientras que la varianza es $mu + mu^2/alpha$.
- La función de distribución de probabilidad se define como: $$f(x; mu, alpha) = binom{x+alpha-1}{x} left( frac{mu}{mu+alpha} right)^x left( frac{alpha}{mu+alpha} right)^alpha$$
Ejemplos
Supongamos que un fabricante produce un producto y quiere calcular la probabilidad de que una unidad dada tenga exactamente 3 defectos. También supongamos que se sabe que el producto tiene una media de 2 defectos por unidad y un parámetro de forma de 5. La distribución binomial negativa es la distribución correcta para modelar este problema. La probabilidad de que una unidad tenga exactamente 3 defectos es:
$$f(3; 2, 5) = binom{8}{3} left( frac{2}{7} right)^3 left( frac{5}{7} right)^5 = 0.0904$$
Otro ejemplo podría ser el número de llamadas telefónicas entrantes a una oficina durante una hora. Supongamos que se sabe que el número esperado de llamadas es 10 y el parámetro de forma es 2. La probabilidad de que haya exactamente 13 llamadas durante esa hora es:
$$f(13; 10, 2) = binom{14}{13} left( frac{10}{12} right)^{13} left( frac{2}{12} right)^2 = 0.1458$$